Question

如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．
（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求平面PAC和平面PAB所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，则PC⊥AB，而CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，则CD⊥AB，又PC∩CD=C，根据线面垂直的判断定理可知AB⊥平面PCB．
（2）取AP的中点E，连接CE、DE，PC=AC=2，则CE⊥PA，CE=

2

，因CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA，从而∠CED为二面角C-PA-B的平面角．由（1）可知AB⊥平面PCB，又AB=BC，可得BC=

2

．在Rt△PCB中，求出PB，CD，在Rt△CDE中，求出∠CED的余弦值即可．

解答：解（1）∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB．
∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴CD⊥AB．
又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB．
（2）取AP的中点E，连接CE、DE．
∵PC=AC=2，∴CE⊥PA，CE=

2

．
∵CD⊥平面PAB，
由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA．
∴∠CED为二面角C-PA-B的平面角．
由（1）AB⊥平面PCB，又∵AB=BC，可得BC=

2

．
在Rt△PCB中，PB=

PC2+BC2

=

6

，
CD=

PC•BC

PB

=

2× 2

6

=

2

3

．
在Rt△CDE中，
sin∠CED=

CD

CE

=

2 3

2

=

6

3

．
∴cos∠CED=

3

3

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及求二面角的问题，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力，属于中档题．