Question

在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．
（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；
（2）求多面体ABCDE的体积；
（3）求直线EC与平面ABED所成角的正弦值．

Answer 1

解：如图，（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，
设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，
连接FH，则FH∥，且．
∴FH∥=AB，
∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH，
由BF?平面ACD内，AH?平面ACD，∴BF∥平面ACD；
（2）取AD中点G，连接CG，CG⊥AD．
∵AB⊥平面ACD，∴CG⊥AB
又CG⊥AD，AB∩AD=A，∴CG⊥平面ABED，即CG为四棱锥C-ABED的高，
在等边三角形ACD中，CG==．
．
∴V_C-ABED=S_△AED•==．
（3）连接EG，由（2）有CG⊥平面ABED，
∴∠CEG即为直线CE与平面ABED所成的角，设为α，
又在等腰直角三角形CDE中，CE=，
则在Rt△CEG中，有．
分析：（1）因为AB、DE均垂直于底面，可以断定两线段平行，且AB=DE，可设想取CE、CD的中点，这样可证得BF平行于平面ACD内的直线，从而证得BF平行于平面ACD；
（2）多面体实则是以C为顶点的四棱锥，底面ABED面积易求，可取AD的中点，于C连接后能证明为四棱锥的高，从而可求四棱锥的体积；
（3）连接E与AD的中点，则CE与平面ABED所成的角得到，在直角三角形中直接求其正弦值．
点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查线面角，考查数形结合与数学转化思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属中档题．