Question

18．设F为抛物线y²=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0$，O为坐标原点，且△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S₁、S₂、S₃，则$S_1^2+S_2^2+S_3^2$=3．

Answer 1

分析 确定抛物线y²=4x的焦点F的坐标，求出S₁²+S₂²+S₃²，利用点F是△ABC的重心，即可求得结论

解答 解：设A、B、C三点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），
∵抛物线y²=4x的焦点F的坐标为（1，0），
∴S₁=$\frac{1}{2}$|y₁|，S₂=$\frac{1}{2}$|y₂|，S₃=$\frac{1}{2}$|y₃|，
∴S₁²+S₂²+S₃²=$\frac{1}{4}$（y₁²+y₂²+y₃²）=x₁+x₂+x₃，
∵$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0$，∴点F是△ABC的重心．
∴x₁+x₂+x₃=3．
∴S₁²+S₂²+S₃²=3．
故答案为3．

点评 本题考查抛物线的定义，考查三角形重心的性质，属于中档题．