Question

（2014•江门模拟）已知抛物线Σ₁：y=

1

4

x2的焦点F在椭圆Σ₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，直线l与抛物线Σ₁相切于点P（2，1），并经过椭圆Σ₂的焦点F₂．
（1）求椭圆Σ₂的方程；
（2）设椭圆Σ₂的另一个焦点为F₁，试判断直线FF₁与l的位置关系．若相交，求出交点坐标；若平行，求两直线之间的距离．

Answer 1

分析：（1）抛物线y=

1

4

x2即x²=4y的焦点F（0，1），代入椭圆的方程可得b．利用导数的几何意义可得：切线l的斜率k=y/=

1

2

x|x=2=1，进而得到切线l方程．再由切线方程，令y=0，可得c，利用a=

b2+c2

，即可得到a．
（2）利用点斜式可得直线FF₁的方程，即可判断二直线平行，利用平行线之间的距离公式可得距离．

解答：解：（1）抛物线y=

1

4

x2即x²=4y的焦点F（0，1），
由题意可得

0

a2

+

1

b2

=1，解得b=1，
切线l的斜率k=y/=

1

2

x|x=2=1，
∴切线l方程为y-1=x-2，即x-y-1=0，
令y=0，解得x=1．∴焦点F₂（1，0），即c=1．
∴a=

b2+c2

=

2

，
椭圆Σ₂的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）由（1）得F₁（-1，0），
直线FF₁的方程为

y-0

1-0

=

x-(-1)

0-(-1)

，即x-y+1=0，
∵kFF1=k=1，且F₁（-1，0）不在直线l上，
∴直线FF₁∥l，
FF₁与l之间的距离即为F（0，1）到直线l的距离d=

|0-1-1|

12+12

=

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、导数的几何意义、平行线之间的距离等基础知识与基本技能方法，属于难题．