Question

7．已知m，n∈R⁺，f（x）=|x+m|+|2x-n|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）的最小值为2，求${m^2}+\frac{n^2}{4}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）化绝对值函数为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-3x-m+n，x≤-m\\-x+m+n，-m＜x＜\frac{n}{2}\\ 3x+m-n，x≥\frac{n}{2}\end{array}\right.$，从而判断函数的单调性及最值即可；
（2）由基本不等式可得$（{m^2}+\frac{n^2}{4}）=\frac{1}{2}.2（{m^2}+\frac{n^2}{4}）≥\frac{1}{2}{（m+\frac{n}{4}）^2}=2$．

解答 解：（1）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-3x-m+n，x≤-m\\-x+m+n，-m＜x＜\frac{n}{2}\\ 3x+m-n，x≥\frac{n}{2}\end{array}\right.$，
∴f（x）在$（-∞，\frac{n}{2}）$是减函数，在$（\frac{n}{2}，+∞）$是增函数；
∴当x=$\frac{n}{2}$时，f（x）取最小值$f（\frac{n}{2}）$=$m+\frac{n}{2}$．
（2）由（1）知，f（x）的最小值为$m+\frac{n}{2}$，
∴$m+\frac{n}{2}$=2，∵m，n∈R⁺，
$（{m^2}+\frac{n^2}{4}）=\frac{1}{2}.2（{m^2}+\frac{n^2}{4}）≥\frac{1}{2}{（m+\frac{n}{4}）^2}=2$，
（当且仅当$m=\frac{n}{2}$，即m=1，n=2时，取等号），
∴${m^2}+\frac{n^2}{4}$的最小值为2．

点评 本题考查了绝对值函数的与分段函数的应用及基本不等式的应用．