【题目】如图,四棱锥的底面是菱形, 与交于点, 底面,点为中点, .
(1)求直线与所成角的余弦值;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,表示直线方向向量,根据向量数量积求向量夹角,最后根据线线角与向量夹角关系得结果(2)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解出各面法向量,根据向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果
试题解析:解:(1)因为是菱形,所以.又底面,以为原点,直线 分别为轴, 轴, 轴,建立如图所示空间直角坐标系.
则, , , , .
所以, , ,
, .
则.
故直线与所成角的余弦值为.
(2), .
设平面的一个法向量为,
则,得,令,得, .
得平面的一个法向量为.
又平面的一个法向量为,所以 , , .
则.
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(0)=0,当x>0时,
f(x)=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)解不等式f(x2-1)>-2.
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【题目】已知直角梯形中, , , , 、分别是边、上的点,且,沿将折起并连接成如图的多面体,折后.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若折后直线与平面所成角的正弦值是,求证:平面平面.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为 (为参数),点是曲线上的一动点,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的方程为 .
(Ⅰ)求线段的中点的轨迹的极坐标方程;
(Ⅱ)求曲线上的点到直线的距离的最大值.
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【题目】已知函数
(1)若不等式恒成立,则实数的取值范围;
(2)在(1)中, 取最小值时,设函数.若函数在区间上恰有两个零点,求实数的取值范围;
(3)证明不等式: (且).
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【题目】已知函数, .
(Ⅰ)求曲线在点处的切线的斜率;
(Ⅱ)判断方程(为的导数)在区间内的根的个数,说明理由;
(Ⅲ)若函数在区间内有且只有一个极值点,求的取值范围.
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