Question

已知函数f(x)=

x-1

x+2

（1）判断函数f（x）在区间（-2，+∞）上的单调性，并利用单调性的定义证明；
（2）函数g（x）=log₂f（x），x∈[-5，-3]的值域为A，且C_RB={x|x＞2a-1或x＜a}（a为常数），若A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f(x)=

x-1

x+2

=1-

3

x+2

，利用函数单调性的定义即可判断；
（2）由（1）可得f（x）在[-5，-3]上的单调性，进而得g（x）的单调性，由单调性可求A，由C_RB可求B，因为A∩B=B，所以B⊆A，分B=∅，B≠∅两种情况讨论即可．

解答：（1）f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数．
f(x)=

x-1

x+2

=1-

3

x+2

，
任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(1-

3

x1+2

)-(1-

3

x2+2

)=

3

x2+2

-

3

x1+2

=

3(x1-x2)

(x1+2)•(x2+2)

，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，又x₁，x₂∈（-2，+∞），∴x₁+2＞0，x₂+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数．
（2）∵f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数．
∴f（x）在区间[-5，-3]上为增函数．
∵g（x）=log₂f（x），∴g（x）在区间[-5，-3]上为增函数，
∴g（-5）≤g（x）≤g（-3），即1≤g（x）≤2，∴A=[1，2]，
∵C_RB={x|x＞2a-1或x＜a}，∴B={x|a≤x≤2a-1}，
①若B=?，则a＞2a-1，解得a＜1；
②若B≠?时，

2a-1≥a a≥1 2a-1≤2

⇒1≤a≤

3

2

，
综上所述：a∈(-∞，

3

2

]．

点评：本题考查函数单调性的判断、函数值域的求解及集合运算，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．