【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面PAC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.
【答案】
(1)
证明:∵PC⊥平面ABCD,DC平面ABCD,
∴PC⊥DC,
∵DC⊥AC,PC∩AC=C,
∴DC⊥平面PAC;
(2)
证明:∵AB∥DC,DC⊥AC,
∴AB⊥AC,
∵PC⊥平面ABCD,AB平面ABCD,
∴PC⊥AB,
∵PC∩AC=C,
∴AB⊥平面PAC,
∵AB平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAC;
(3)
解:在棱PB上存在中点F,使得PA∥平面CEF.
∵点E为AB的中点,
∴EF∥PA,
∵PA平面CEF,EF平面CEF,
∴PA∥平面CEF
【解析】(1)利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC;
(2)利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC,即可证明平面PAB⊥平面PAC;
(3)在棱PB上存在中点F,使得PA∥平面CEF.利用线面平行的判定定理证明.
本题考查线面平行与垂直的证明,考查平面与平面垂直的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系和平面与平面之间的位置关系的相关知识点,需要掌握直线在平面内—有无数个公共点;直线与平面相交—有且只有一个公共点;直线在平面平行—没有公共点;两个平面平行没有交点;两个平面相交有一条公共直线才能正确解答此题.
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【题目】(2015·新课标1卷)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为 , E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|= ( )
A.3
B.6
C.9
D.12
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【题目】如图,四边形ABCD与ABEF均为矩形,BC=BE=2AB,二面角E﹣AB﹣C的大小为 .现将△ACD绕着AC旋转一周,则在旋转过程中,( )
A.不存在某个位置,使得直线AD与BE所成的角为
B.存在某个位置,使得直线AD与BE所成的角为
C.不存在某个位置,使得直线AD与平面ABEF所成的角为
D.存在某个位置,使得直线AD与平面ABEF所成的角为
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【题目】如图,在三棱锥A﹣BCD中,AD⊥平面BCD,CB=CD,AD=DB,P,Q分别在线段AB,AC上,AP=3PB,AQ=2QC,M是BD的中点.
(1)证明:DQ∥平面CPM;
(2)若二面角C﹣AB﹣D的大小为 ,求∠BDC的正切值.
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【题目】已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤|f( )|对x∈R恒成立,且f( )>f(π),则f(x)的单调递增区间是( )
A.[kπ﹣ ,kπ+ ](k∈Z)
B.[kπ,kπ+ ](k∈Z)
C.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z)
D.[kπ﹣ ,kπ](k∈Z)
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【题目】如图,正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是 ,PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线,则直线BD与PQ所成角的取值范围是( )
A.[ , ]
B.[ , ]
C.[ , ]
D.[ , ]
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