Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．

Answer 1

（1）直线方程l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，可以改写为m（2x+y-7）+x+y-4=0，所以直线必经过直线2x+y-7=0和x+y-4=0的交点．由方程组

2x+y-7=0 x+y-4=0

解得

x=3 y=1

即两直线的交点为A（3，1），
又因为点A（3，1）与圆心C（1，2）的距离d=

5

＜5，
所以该点在C内，故不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交．
（2）连接AC，当直线l是AC的垂线时，此时的直线l与圆C相交于B、D．BD为直线l被圆所截得的最短弦长．此时，|AC|=

5

，|BC|=5，所以|BD|=2

25-5

=4

5

．即最短弦长为4

5

．
又直线AC的斜率kAC=-

1

2

，所以直线BD的斜率为2．
此时直线方程为：y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．