Question

10、给出如下三个等式：①f（a+b）=f（a）+f（b）；②f（ab）=f（a）+f（b）；③f（ab）=f（a）×f（b）．
则下列函数中，不满足其中任何一个等式的函数是（　　）

A、f（x）=x²

B、f（x）=3x

C、f（x）=2^x

D、f（x）=lnx

Answer 1

分析：本题可以用排除法来解答，根据f（ab）=f（a）•f（b），可排除A；根据f（a+b）=f（a）+f（b），可排除B；f（ab）=f（a）+f（b）可排除D，对C进行证明后，即可得到答案．

解答：解：A中，若f（x）=x^2，
∵f（ab）=（ab）²，f（a）•f（b）=a²•b²，f（ab）=f（a）•f（b），故③成立，
B中，若f（x）=3x^，
∵f（a+b）=3（a+b），f（a）+f（b）=3a+3b，f（a+b）=f（a）+f（b），故①成立，
D中，若f（x）=lnx，f（ab）=lnab=lna+lnb=f（a）+f（b），故②成立．
C中，若f（x）=2^x
∵f（a+b）=2^a+b，f（a）+f（b）=2^a+2^b，f（a+b）=f（a）+f（b）不一定成立，故①不成立，
∵f（ab）=2^ab，f（a）+f（b）=2^a+2^b，f（ab）=2^a•2^b，
f（ab）=f（a）+f（b）不一定成立，故②不成立，
f（ab）=f（a）•f（b）不一定成立，故③不成立，
故选C

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，我们根据幂函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质，对四个结论逐一进行判断，易得答案，建议大家记忆三个结论及f（x）=2^x满足f（a+b）=f（a）•f（b）将其做为抽象函数选择题时特值法的特例使用．