Question

已知平面向量

a

=（

3

2

，

1

2

），

b

=（

1

2

，

3

2

）．
（1）证明：

a

⊥

b

；
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使

x

=

a

+（t²-k）

b

，

y

=-s

a

+t

b

，且

x

⊥

y

，试求s=f（t）的函数关系式；
（3）若s=f（t）在[1，+∞）上是增函数，试求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题知|

a

|=|

b

|=1，且

a

•

b

=

3

2

×

1

2

-

1

2

×

3

2

=0，能够证明

a

⊥

b

．
（2）由于

x

⊥

y

，则

x

•

y

=0，从而-s|

a

|²+（t+sk-st²）

a

•

b

+t（t²-k）|

b

|²=0，由此能够求出s=f（t）=t³-kt．
（3）设t₁＞t₂≥1，则f(t1)-f(t2)=t13-kt1-(t13-kt₂）=（t₁-t₂）（t12+t1t2+t22-k），由s=f（t）在[1，+∞）上是增函数，知k＜t12+t1t2+t22在[1，+∞）上恒成立，由此能求出k的范围．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）证明：由题知|

a

|=|

b

|=1，且

a

•

b

=

3

2

×

1

2

-

1

2

×

3

2

=0，
∴

a

⊥

b

．（4分）
（2）由于

x

⊥

y

，则

x

•

y

=0，
从而-s|

a

|²+（t+sk-st²）

a

•

b

+t（t²-k）|

b

|²=0，
故s=f（t）=t³-kt．（8分）
（3）设t₁＞t₂≥1，
则f(t1)-f(t2)=t13-kt1-(t13-kt₂）
=（t₁-t₂）（t12+t1t2+t22-k），
∵s=f（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴t12+t1t2+t22-k＞0，
即k＜t12+t1t2+t22在[1，+∞）上恒成立，
∵t12+t1t2+t22＞3，
∴只需k≤3即可．（12分）

点评：本题考查向量垂直的证明，考查函数解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．