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    8．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），M是C1上的动点，点P满足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，点P的轨迹为曲线C2．
    （1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C2的极坐标方程；
    （2）在（1）的极坐标系中，射线θ=$\frac{π}{3}$与C1异于极点的交点为A，与C2异于极点的交点为B，求|AB|

    分析 （1）设出P点坐标，得到M的坐标，代入曲线C1后可得点P的轨迹方程C2，可求曲线C2的极坐标方程．
    （2）求出曲线C1和C2的极坐标方程，联立射线θ=$\frac{π}{3}$，求得射线θ=$\frac{π}{3}$与曲线C1，C2交于不同于原点的点A，B的极坐标，则|AB|可求．

    解答 （本题满分为10分）
    解：（1）设P（x，y），则由$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$知$M（\frac{x}{2}，\frac{y}{2}）$．
    由于：M点在C1上，
    所以：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=2cosα}\\{\frac{y}{2}=2+2sinα}\end{array}\right.$，
    即：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=4+4sinα}\end{array}\right.$，
    从而：C2的普通方程为x2+y2-8y=0，
    所以：C2的极坐标方程为：ρ=8sinθ．…（5分）
    （2）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．
    射线θ=$\frac{π}{3}$与C1的交点A的极径为ρ1=4sin$\frac{π}{3}$，
    射线$θ=\frac{π}{3}$与C2的交点B的极径为ρ2=8sin$\frac{π}{3}$．
    所以：|AB|=|ρ2-ρ1|=2$\sqrt{3}$．-------------------------------------------------------------（10分）

    点评 本题考查坐标系与参数方程的有关内容，求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解，关键是掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系，是基础题．

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