Question

19．f（x）=sin（2x-$\frac{π}{12}$）+sin（2x-$\frac{7π}{12}$），且f（α）=f（β）=$\frac{1}{2}$，（α，β∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$）），求α+β的值．

Answer 1

分析 由条件利用两角和差的正弦、余弦公式化简函数的解析式，求得 2α-$\frac{π}{3}$和2β-$\frac{π}{3}$的值，即可求得α+β的值．

解答 解：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{12}$）+sin（2x-$\frac{7π}{12}$）=sin（2x-$\frac{π}{12}$）-cos（2x-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∵α，β∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），∴2α-$\frac{π}{3}$∈（0，2π），2β-$\frac{π}{3}$∈（0，2π），
∵f（α）=f（β）=$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$sin（2β-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2α-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$、2β-$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，或2α-$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$、2β-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，
故α+β=$\frac{5π}{6}$．

点评 本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．