Question

将正整数2，3，4，5，6，7，…，n，…作如下分类：（2），（3，4），（5，6，7），（8，9，10，11），…，分别计算各组包含的正整数的和，记为S₁，S₂，S₃，S₄，…，记T_n=S₁+S₃+S₅+…+S_2n-1．
（1）分别求T₁，T₂，T₃的值；
（2）请猜测T_n的结果，并用数学归纳法证明．

Answer 1

（1）第n组有n个从小到大连续的正整数，且第1个数是[1+2+3+…+（n-1）]+2=

n(n-1)

2

+2，
故S_n=n[

n(n-1)

2

+2]+

n(n-1)

2

=

n(n2+3)

2

+2（n∈N^*）．
S₁=2，S₃=18，S₅=70，T₁=S₁=2，
T₂=S₁+S₃=2+18=20，
T₃=S₁+S₃+S₅=2+18+70=90．…（6分）
（2）由（1）知T₁=2=1×2=1²×（1²+1），
T₂=20=4×5=2²×（2²+1），
T₃=90=9×10=3²×（3²+1）
猜想：T_n=n²（n²+1），（n∈N^*）．      …（10分）
证明：（ⅰ）当n=1时，已知成立．
（ⅱ）假设n=k（k∈N^*）时，猜测成立，即T_k=k²（k²+1）．则n=k+1时，
T_k+1=T_k+S_2k+1=k²（k²+1）+

(2k+1)[(2k+1)2+3]

2

，
因为（k+1）²[（k+1）²+1]-k²（k²+1）-

(2k+1)[(2k+1)2+3]

2

=[（k+1）⁴-k⁴]+[（k+1）²-k²]-

(2k+1)(4k2+4k+4]

2

=[（k+1）²+k²][（k+1）²-k²]+（2k+1）-（2k+1）（2k²+2k+2）
=（2k+1）（2k²+2k+2）-（2k+1）（2k²+2k+2）
=0，
所以k²（k²+1）+

(2k+1)[(2k+1)2+3]

2

=（k+1）²[（k+1）²+1]，即n=k+1时，猜测成立．
根据（ⅰ）（ⅱ），T_n=n²（n²+1）（n∈N^*）成立． …（16分）