Question

已知圆C：x²+y²=4，直线l过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，若|AB|=2

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：分两种情况考虑：当直线l的斜率不存在时，根据直线l过P点，由P的坐标得出直线l的方程为x=1，经验证满足题意；当直线l的斜率存在时，设出斜率为k，由P及k表示出直线l的方程，根据圆的方程找出半径r=2及圆心坐标，再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，进而由弦长的一半，圆的半径r及弦心距d，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，可得出此时直线l的方程，综上，得到所有满足题意的直线l的方程．

解答：解：分两种情况考虑：
（i）当直线l的斜率不存在时（或直线l与x轴垂直），
由P（1，2），得到直线l为x=1，
该直线与圆x²+y²=4相交于两点A（1，

3

），B（1，-

3

），
满足|AB|=2

3

，符合题意；（4分）
（ii）当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，
由P（1，2），得到直线l方程为y-2=k（x-1），即kx-y+（2-k）=0，
由圆的方程x²+y²=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
∴圆心到直线l的距离d=

|2-k|

k2+1

，又|AB|=2

3

，
∴d²+（

|AB|

2

）²=r²，即（

|2-k|

k2+1

）²+（

3

）²=4，
整理得：-4k=-3，解得：k=

3

4

，
此时直线l的方程为

3

4

x-y+（2-

3

4

）=0，即3x-4y+5=0，（11分）
综上，直线l的方程为x=1或3x-4y+5=0．（12分）

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：直线的点斜式方程，圆的标准方程，勾股定理，垂径定理，以及点到直线的距离公式，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．