Question

7．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B上的点，F是AC上的点，且A₁E=2EB，CF=2AF．求证：EF∥平面A₁B₁CD．

Answer 1

分析 以D为原点，分别以DA，DC，DD₁为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，由A₁E=2EB，CF=2AF，可求A₁，B₁，E，F，D坐标，可得$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$，$\overrightarrow{{A}_{1}D}$的坐标，设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面A₁B₁CD的法向量，
由$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$$•\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{{A}_{1}D}$$•\overrightarrow{n}$=0，可得$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{-x-z=0}\end{array}\right.$，解得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），由于$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{n}$=（$-\frac{1}{3}$）×1+0×（$-\frac{1}{3}$）+（-1）×（$-\frac{1}{3}$）=0，即可证明EF∥平面A₁B₁CD．

解答 证明：如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD₁为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，
由A₁E=2EB，CF=2AF．
则：A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），E（1，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），F（$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，0），D（0，0，0），C（0，1，0），
可得：$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$，$-\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，0，-1），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面A₁B₁CD的法向量，
可得：$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$$•\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{{A}_{1}D}$$•\overrightarrow{n}$=0，即：$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{-x-z=0}\end{array}\right.$，令x=1，可得y=0，z=-1，即：$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
则$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{n}$=（$-\frac{1}{3}$）×1+0×（$-\frac{1}{3}$）+（-1）×（$-\frac{1}{3}$）=0，
即：$\overrightarrow{EF}$⊥$\overrightarrow{n}$，
故EF∥平面A₁B₁CD．

点评 本题主要考查了建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面平行及线面角等立体几何问题的方法，考查了线面垂直的判定定理及性质，平面法向量的概念及求法，线面平行时，直线和平面的法向量垂直，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．