Question

已知一个等比数列的前三项的积为3，后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为

10

．

Answer 1

分析：由题意可得 a₁a_n =3，再由所有项的积为a₁•a₁q•a₁q2 …a₁q^n-1=243=3⁵  ①，倒序可得 a₁q^n-1…a₁q²•a₁q•a₁=3⁵  ②，把①②对应项相乘可得
  (a1 2•   qn-1)n=(a1 •a n)n=3ⁿ=3⁵•3⁵ =3¹⁰，由此解得 n的值．

解答：解：设等比数列为{a_n}，公比为q，由题意可得 a₁a₂a₃=3，且 a_n-2a_n-1a_n=9，两式相乘可得 a₁a_n =3．
再由所有项的积为a₁•a₁q•a₁q² …a₁q^n-1=243=3⁵ ①，
倒序可得 a₁q^n-1…a₁q²•a₁q•a₁=3⁵ ②，
把①②对应项相乘可得 (a1 2•   qn-1)n=(a1 •a n)n=3ⁿ=3⁵•3⁵ =3¹⁰，解得 n=10，
故答案为 10．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于中档题．