精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(本题满分14分)已知函数的图象在点处的切线的斜率为,且在处取得极小值。
(1)求的解析式;
(2)已知函数定义域为实数集,若存在区间,使得的值域也是,称区间函数的“保值区间”.
①当时,请写出函数的一个“保值区间”(不必证明);
②当时,问是否存在“保值区间”?若存在,写出一个“保值区间”并给予证明;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵,                        
                             ……  1 分
                      …… 4 分
,      令,解得
变化时,,的变化情况如下表:




1



0

0
+


极大值

极小值

∴当时,取得极小值。                                  
所以,。                                    ……  5 分
(2) ①                                       ……  7 分
②由(1)得
假设当x>1时,存在“保值区间”:[m,n](n>m>1)。
因为当x>1时,所以在区间是增函数,
依题意,
于是问题转化为有两个大于1的根。            …… 9 分
现在考察函数

又∵
∴1<                                               
变化时,,的变化情况如下表:

(1,)




0


单调递减
极小值
单调递增
 所以,在在(1,) 上单调递减, 在上单调递增。         …… 12 分
于是,,
又因为
所以,当时,的图象与轴只有一个交点,               ……  13 分
即方程有且只有一个大于1的根,与假设矛盾。
故当x>1时,不存在“保值区间”。                         ……  14 分
(2)解法2:由(1)得
② 假设当x>1时,存在“保值区间”:[m,n](n>m>1)。
因为当x>1时,所以在区间是增函数,
依题意,
于是问题转化为方程,即有两个大于1的根。…… 9 分
考察函数=(),与函数().
当x>1时,
所以
而函数在区间               …… 12 分
又因为  所以
因此函数=()的图象与函数()的图象只有一个交点。
……  13分
即方程有且只有一大于1的根,与假设矛盾。
故当时,不存在“保值区间”         
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数
(Ⅰ)判断的奇偶性.
(Ⅱ)判断内单调性并用定义证明;
(Ⅲ)求在区间上的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

设定义在上的函数 若关于的方程有3个不同的实数解,则等于 (  )
A.3 B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

方程组的解集是(   )
A   B    C    D   

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分10分)建造一个容积为8立方米,深为2米的长方体无盖水池,如果池底与池壁的造价每平方米分别是120元和80元,求水池的最低总造价是多少元?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

将函数的图象F沿平移至F′,所得F′的函数解析式为,则的解析式为(   )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知等于                  (   )
A.0B.-1C.2D.1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

方程根的个数为      

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

对任意实数,定义运算,其中为常数,等号右边的运算是通常意义的加、乘运算.现已知,且有一个非零实数,使得对任意实数,都有,则(    )
A.2B.3C.4D.5

查看答案和解析>>

同步练习册答案