Question

设数列{a_n}满足：当 n=2k-1（k∈N^*）时，a_n=n；当n=2k（k∈N^*）时，a_n=a_k；记sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n
（1）求s₃；
（2）证明：s_n=4^n-1+s_n-1（n≥2）
（3）证明：

1

s1

+

1

s2

+

1

s3

+…+

1

sn

＜1-

1

4n

．

Answer 1

分析：（1）根据题意中S_n的表达式写出S₃，即s₃=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈，进而由数列的通项公式可得可得各项的值，相加可得答案；
（2）将S_n分解为奇数项的和与偶数项和两部分，分别化简计算可得S_n=[1+3+…+(2n-1)]+(a2+a4+a6+…+a2n），前一部分为等比数列前n项的和，代入计算可得答案；
（3）由（2）知s_n-s_n-1=4^n-1，依次可得s_n-1-s_n-2=4^n-2，s_n-2-s_n-3=4^n-3 …s₂-s₁=4，将各式相加可得s_n=2+

4(1-4n-1)

1-4

=

1

3

(2+4n），进而对其求倒数可得

1

sn

=

3

4n+2

＜

3

4n

，即将

1

Sn

放大为

3

4n

，由等比数列前n项和公式计算可以得到证明．

解答：解：（1）s₃=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=a₁+a₁+a₃+a₁+a₅+a₃+a₇+a₁
=4a₁+2a₃+a₅+a₇=4×1+2×3+5+7=22…（4分）
（2）证明：sn=a1+a2+…+a2n-1+a2n
=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n）
=[1+3+…+(2n-1)]+(a2+a4+a6+…+a2n）
=4n-1+(a1+a2+a3+…+a2n-1）
=4^n-1+s_n-1…（9分）
（3）由（2）知s_n-s_n-1=4^n-1，于是有：s_n-1-s_n-2=4^n-2，s_n-2-s_n-3=4^n-3 …s₂-s₁=4
上述各式相加得：s_n-s₁=4+4²+…+4^n-1
s_n=2+

4(1-4n-1)

1-4

=

1

3

(2+4n），
∴

1

sn

=

3

4n+2

＜

3

4n

∴

1

s1

+

1

s2

+

1

s3

+…+

1

sn

＜

3

4

(1+

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

）
=1-

1

4n

…（15分）

点评：本题综合考查数列与不等式，解题需特别注意sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n，而不是前n项的和．