Question

已知函数f（x）=

mx2+2

3x-n

是奇函数，且f（2）=

5

3

（1）求实数m，n的值；
（2）判断f（x）在（-∞，-1）的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（-x）=-f（x），代入可求n，由f（2）=

5

3

可求m
（2）由（1）可求f（x），然后利用函数单调性的定义即可证明

解答：（1）解：因为f（x）奇函数．所以有f（-x）=-f（x）
∴

mx2+2

-3x-n

=-

mx2+2

3x-n

∴3x+n=3x-n
∴n=0
∵f(2)=

4m+2

6

=

5

3

∴m=2
∴m=2  n=0
（2）f（x）=

2x2+2

3x

=

2

3

(x+

1

x

)在（-∞，-1）上为增函数．
证明：设x₁，x₂∈（-∞，-1）且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=

2

3

(x1+

1

x1

-x2-

1

x2

)
=

2

3

[(x1-x2)+

1

x1

-

1

x2

)]
=

2(x1-x2)(x1x2-1)

3x1x2

∵x₁＜x₂＜-1
∴x₁x₂＞1，x₁-x₂＜0
∴

2

3

(x1-x2)(

x1x2-1

x1x2

)＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x）在（-∞，-1）的单调增函数．

点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数解析式，函数单调性定义在函数单调性判断（证明）中的应用，属于函数知识的综合应用．