Question

10．若函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0）在（0，$\frac{π}{3}$）上单调递增，且f（$\frac{π}{6}$）+f（$\frac{π}{3}$）=0，f（0）=-1，则ω=2．

Answer 1

分析 由题意可得：φ≥-$\frac{π}{2}$，ω•$\frac{π}{3}$+φ≤$\frac{π}{2}$，由f（0）=-1，解得φ=-$\frac{π}{2}$，ω≤3，由f（$\frac{π}{6}$）+f（$\frac{π}{3}$）=0，解得：cos（π-$\frac{π}{6}$ω）=cos$\frac{π}{3}$ω，即可解得ω的值．

解答 解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）在区间（0，$\frac{π}{3}$）上单调递增，可得：φ≥-$\frac{π}{2}$，ω•$\frac{π}{3}$+φ≤$\frac{π}{2}$，
∵f（0）=-1，解得：sinφ=-1，可得：φ=2kπ$-\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴φ=-$\frac{π}{2}$，ω≤3，
∵由f（$\frac{π}{6}$）+f（$\frac{π}{3}$）=0，
∴可得：sin（$\frac{π}{6}$ω-$\frac{π}{2}$）+sin（$\frac{π}{3}$ω-$\frac{π}{2}$）=0，
∴解得：cos（π-$\frac{π}{6}$ω）=cos$\frac{π}{3}$ω，
∴π-$\frac{π}{6}$ω=$\frac{π}{3}$ω，或π-$\frac{π}{6}$ω=2π-$\frac{π}{3}$ω，解得：ω=2或6（舍去）．
故答案为：2．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．