Question

16．设a，b，c均为正实数．
（1）若a+b+c=1，求证：a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$；
（2）求证：$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{3}}$≥$\frac{a+b+c}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1，利用重要不等式，通过放缩证明即可．
（2）利用分析法由$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{3}}$≥$\frac{a+b+c}{3}$，得到条件（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，
推出结论．

解答 证明：（1）∵a+b+c=1，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1，
∵2ab≤a²+b²，2bc≤c²+b²，2ac≤a²+c²，
∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1≤3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$．（7分）
（2）由已知得a+b+c＞0，
欲证$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{3}}$≥$\frac{a+b+c}{3}$，只需证$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{3}$≥$\frac{（a+b+c）^{2}}{9}$，
只需证3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²，
只需证2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac≥0，
即证（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，
上述不等式显然成立，故原不等式成立．（14分）

点评 本题考查不等式的证明，考查分析法以及综合法的应用，考查逻辑推理能力．