Question

如图，已知三棱柱A₁B₁C₁－ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A₁A与AB、AC均成45°角，且A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥CC₁于F．

(1)求点A到平面B₁BCC₁的距离；

(2)当AA₁多长时，点A₁到平面ABC与平面B₁BCC₁的距离相等．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵BB1⊥A1E，CC1⊥A1F，BB1∥CC1 　　∴BB1⊥平面A1EF 　　即面A1EF⊥面BB1C1C 　　在Rt△A1EB1中， 　　∵∠A1B1E＝45°，A1B1＝a 　　∴A1E＝a，同理A1F＝a，又EF＝a，∴A1E＝a 　　同理A1F＝a，又EF＝a 　　∴△EA1F为等腰直角三角形，∠EA1F＝90° 　　过A1作A1N⊥EF，则N为EF中点，且A1N⊥平面BCC1B1 　　即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离 　　∴A1N＝ 　　又∵AA1∥面BCC1B，A到平面BCC1B1的距离为 　　∴a＝2，∴所求距离为2 　　(2)设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N，易证ADD1A1为平行四边形． 　　∵B1C1⊥D1D，B1C1⊥A1N 　　∴B1C1⊥平面ADD1A1 　　∴BC⊥平面ADD1A1 　　得平面ABC⊥平面ADD1A1，过A1作A1M⊥平面ABC，交AD于M， 　　若A1M＝A1N，又∠A1AM＝∠A1D1N，∠AMA1＝∠A1ND1＝90° 　　∴△AMA1≌△A1ND1，∴AA1＝A1D1＝，即当AA1＝时满足条件