Question

在直平行六面体AC₁中，ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA₁．
（1）求证：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）求直线AC与平面AB₁D₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）连接A₁C₁，交B₁D₁于O₁，证明四边形AOC₁O₁为平行四边形，从而由线线平行即AO₁∥OC₁，推证出线面平行即C₁O∥平面AB₁D₁
（2）先证明平面AB₁D₁⊥平面A₁C，由面面垂直的性质定理可知，过C作平面AB₁D₁的垂线，垂足一定在交线上，从而∠O₁AO就是直线AC与平面AB₁D₁所成的角，最后在三角形
O₁OA中计算此角即可

解答：解：（1）连接A₁C₁，交B₁D₁于O₁
在矩形ACA₁C₁中，易得O₁C₁∥A0，且O₁C₁=A0
∴四边形AOC₁O₁为平行四边形
∴AO₁∥OC₁，∵AO₁?平面AB₁D₁；
∴C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）∵B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥A₁A，
∴B₁D₁⊥平面A₁C，
∴平面AB₁D₁⊥平面A₁C，交线为AO₁；
∴点C在平面AB₁D₁⊥上的射影一定在交线AO₁上
∴∠O₁AO就是直线AC与平面AB₁D₁所成的角
在Rt△O₁OA中，AO=

3

2

AB，O₁O=|AB|
∴tan∠O₁AO=

2 3

3

∴直线AC与平面AB₁D₁所成的角为arctan

2 3

3

点评：本题考察了线面平行的证明方法和线面角的作法和求法，解题时要熟记线面平行的判定定理，熟记面面垂直的性质定理，能将空间问题转化为平面问题解决