【题目】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(12分)
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
经计算得 = =9.97,s= = ≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数 作为μ的估计值 ,用样本标准差s作为σ的估计值 ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除( ﹣3 +3 )之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592, ≈0.09.
【答案】
(1)
解:由题可知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,
则落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率为1﹣0.9974=0.0026,
因为P(X=0)= ×(1﹣0.9974)0×0.997416≈0.9592,
所以P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,
又因为X~B(16,0.0026),
所以E(X)=16×0.0026=0.0416;
(2)
(ⅰ)由(1)知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026,
由正态分布知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外为小概率事件,
因此上述监控生产过程方法合理;
(ⅱ)因为用样本平均数 作为μ的估计值 ,用样本标准差s作为σ的估计值 ,
且 = =9.97,s= = ≈0.212,
所以 ﹣3 =9.97﹣3×0.212=9.334, +3 =9.97+3×0.212=10.606,
所以9.22( ﹣3 +3 )=(9.334,10.606),
因此需要对当天的生产过程进行检查,剔除( ﹣3 +3 )之外的数据9.22,
则剩下的数据估计μ= =10.02,
将剔除掉9.22后剩下的15个数据,利用方差的计算公式代入计算可知σ2≈0.008,
所以σ≈0.09.
【解析】(1.)通过P(X=0)可求出P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,利用二项分布的期望公式计算可得结论;
(2.)(ⅰ)由(1)及知落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理;
(ⅱ)通过样本平均数 、样本标准差s估计 、 可知( ﹣3 +3 )=(9.334,10.606),进而需剔除( ﹣3 +3 )之外的数据9.22,利用公式计算即得结论.
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【题目】下列关于概率和统计的几种说法:
①10名工人某天生产同一种零件,生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则a,b,c的大小关系为c>a>b;
②样本4,2,1,0,-2的标准差是2;
③在面积为S的△ABC内任选一点P,则随机事件“△PBC的面积小于”的概率为;
④从写有0,1,2,…,9的十张卡片中,有放回地每次抽一张,连抽两次,则两张卡片上的数字各不相同的概率是.
其中正确说法的序号有________.
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【题目】已知点,,动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设点为轨迹上异于原点的两点,且.
①若为常数,求证:直线过定点;
②求轨迹上任意一点到①中的点距离的最小值.
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【题目】[选修4-4 , 坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数),直线l的参数方程为 (t为参数).(10分)
(1)若a=﹣1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为 ,求a.
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【题目】命题p:关于x的方程x2+ax+2=0无实根,命题q:函数f(x)=logax在(0,+∞)上单调递增,若“p∧q”为假命题,“p∨q”真命题,求实数a的取值范围
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【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为 .(12分)
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
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【题目】给出下列五个命题:
①当时,有;
②若是锐角三角形,则;
③已知是等差数列的前项和,若,则;
④函数与的图像关于直线对称;
⑤当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为.
其中正确命题的序号为___________.
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【题目】已知f(x)=x2+px+q.求证:
(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2;
(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.
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【题目】有一块扇形铁皮OAB,∠AOB=60°,OA=72cm,要剪下来一个扇环形ABCD,作圆台容器的侧面,并且在余下的扇形OCD内能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面).试求:
(1)AD应取多长?
(2)容器的容积为多大?
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