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【题目】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(12分)
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

经计算得 = =9.97,s= = ≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数 作为μ的估计值 ,用样本标准差s作为σ的估计值 ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除( ﹣3 +3 )之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592, ≈0.09.

【答案】
(1)

解:由题可知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,

则落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率为1﹣0.9974=0.0026,

因为P(X=0)= ×(1﹣0.9974)0×0.997416≈0.9592,

所以P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,

又因为X~B(16,0.0026),

所以E(X)=16×0.0026=0.0416;


(2)

(ⅰ)由(1)知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026,

由正态分布知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外为小概率事件,

因此上述监控生产过程方法合理;

(ⅱ)因为用样本平均数 作为μ的估计值 ,用样本标准差s作为σ的估计值

= =9.97,s= = ≈0.212,

所以 ﹣3 =9.97﹣3×0.212=9.334, +3 =9.97+3×0.212=10.606,

所以9.22 ﹣3 +3 )=(9.334,10.606),

因此需要对当天的生产过程进行检查,剔除( ﹣3 +3 )之外的数据9.22,

则剩下的数据估计μ= =10.02,

将剔除掉9.22后剩下的15个数据,利用方差的计算公式代入计算可知σ2≈0.008,

所以σ≈0.09.


【解析】(1.)通过P(X=0)可求出P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,利用二项分布的期望公式计算可得结论;
(2.)(ⅰ)由(1)及知落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理;
(ⅱ)通过样本平均数 、样本标准差s估计 可知( ﹣3 +3 )=(9.334,10.606),进而需剔除( ﹣3 +3 )之外的数据9.22,利用公式计算即得结论.

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