Question

（本小题满分12分）
已知函数.
（1）设，讨论的单调性；
（2）若对任意，，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）增区间为，减区间为.（2）.

试题分析：（1），定义域为，
，
设则，
上是减函数，又，
于是的增区间为，减区间为.
（2）由已知.
当时，，不合题意；
当时，，由，可得.
设.……8分
设，方程的判别式，
若在上是增函数，
又，
若，存在，使得，对任意，又不合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（II）通过构造函数，并研究函数的单调性，函数值与最值比较，达到解题目的。分类讨论，排除可能情况，值得关注。本题涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。