Question

已知幂函数Y=f（x）的图象过点（3，

1

3

），
（1）试求出此函数的解析式；
（2）写出此函数的单调区间；
（3）证明此函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．

Answer 1

分析：（1）设出幂函数的解析式，将已知点的坐标代入，求出幂函数的解析式；
（2）由于幂指数小于0，求出单调区间．
（3）判断函数的单调性可以通过定义做，先取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，根据定义进行判定即可．

解答：解：（1）设幂函数f（x）=x^a，
则3^a=

1

3

，解得a=-1
∴f（x）=x^-1；
（2）∴f（x）=x^-1的单调递减区间是（0，+∞），（-∞，0）．
（3）取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，那么 f（x₁）-f（x₂）=

1

x1

-

1

x2

=-

x1-x2

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x）在（0，+∞）内是减函数．

点评：本题主要考查了通过待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质取决于幂指数的范围，考查函数的单调性及不等式的基础知识，考查数学推理判断能力，属于基础题．