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【题目】已知椭圆C1 的离心率为 ,且经过点M 的直径C1的长轴.如图,C是椭圆短轴端点,动直线AB过点C且与圆C2交于A,B两点,CD垂直于AB交椭圆于点D.

(1)求椭圆C1的方程;
(2)求△ABD面积的最大值,并求此时直线AB的方程.

【答案】
(1)解:∵椭圆C1 的离心率为

,∴a=2k,b=k,k>0,

∵椭圆C1经过点M ),

,解得k2=1,

∴椭圆C1的方程为


(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),

由题意知直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为y=kx+1,

又圆C2:x2+y2=4,

∴点O到直线l1的距离d=

∴|AB|=2 =2

又∵l1⊥l2,∴直线l2的方程为x+ky﹣k=0.

,消去y,得:

(4+k2)x2+8kx=0,

∴|CD|=

设△ABD的面积为S,则S= =

∴S=

=

当且仅当k= 时取等号,

∴所求的直线l1的方程为


【解析】(1)由已知条件得 ,所以设椭圆方程为 ,再由椭圆C1经过点M ),能求出椭圆C1的方程.(2)设A(x1 , y1),B(x2 , y2),D(x0 , y0),设直线l1的方程为y=kx+1,又圆C2:x2+y2=4,求出点O到直线l1的距离和|AB|,求出直线l2的方程为x+ky﹣k=0.由此能求出直线l1的方程.

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