Question

定义在R上的函数f（x）同时满足下列两个条件：
①对任意x∈R，有f（x+2）≥f（x）+2；②对任意x∈R，有f（x+3）≤f（x）+3．
设g（x）=f（x）-x．
（Ⅰ）证明：g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）；
（Ⅱ）若f（4）=5，求f（2014）的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）通过g（x）=f（x）-x，利用x+2，x+3分别代替x推出方程，由条件①，②转化，即可推出g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ） g（x+2）≥g（x），然后推出 g（x+3）≤g（x），说明g（x）是以6为周期的周期函数所然后求解函数值．

解答： （本小题满分10分）
（Ⅰ）证明：因为g（x）=f（x）-x，
所以g（x+2）=f（x+2）-x-2，g（x+3）=f（x+3）-x-3．
由条件①，②可得g（x+2）=f（x+2）-x-2≥f（x）+2-x-2=f（x）-x=g（x）；【（2分）】
③g（x+3）=f（x+3）-x-3≤f（x）+3-x-3=f（x）-x=g（x）． ④【（4分）】
所以g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）．
（Ⅱ）解：由③得 g（x+2）≥g（x），
所以g（x+6）≥g（x+4）≥g（x+2）≥g（x）．【（6分）】
由④得 g（x+3）≤g（x），
所以g（x+6）≤g（x+3）≤g（x）．【（7分）】
所以必有g（x+6）=g（x），
即g（x）是以6为周期的周期函数．【（8分）】
所以g（2014）=g（335×6+4）=g（4）=f（4）-4=1．【（9分）】
所以f（2014）=g（2014）+2014=2015．【（10分）】

点评：本题考查抽象函数的应用，函数的周期性以及不等式的证明，难度比较大．