Question

．(本小题满分14分)
已知一几何体的三视图如图(甲)示，(三视图中已经给出各投影面顶点的标记)
(1)在已给出的一个面上(图乙)，
画出该几何体的直观图
(2)设点F、H、G分别为AC、AD、
DE的中点，求证：FG//平面ABE；
(3)求该几何体的体积．

Answer 1

解：（1）该几何体的直观图如图示：  ………………………… 4分

（说明：画出AC平面ABCD得2分，其余2分，其他
画法可按实际酌情给分）
（2）证法一：取BA的中点I，连接FI、IE，
∵F、I分别为AC、AB的中点，∴FIBC，………… 5分
∵BC//ED  ∴FIED，
又EG=ED ，∴FIEG
∴四边形EGFI为平行四边形，……………………………………………………… 7分
∴EI//FG
又∵面，面 ∴FG//平面ABE …………………………… 9分
证法二：由图（甲）知四边形CBED为正方形
∵F、H、G分别为AC,AD ,DE的中点
∴FH//CD， HG//AE  …………………………………………………………… 5分
∵CD//BE，  ∴FH//BE
∵面，面
∴面 …………………………………………………………………… 7分
同理可得面
又∵∴平面FHG//平面ABE  …………………………………… 8分
又∵面 ∴FG//平面ABE  ………………………………………… 9分
（3）由图甲知ACCD，ACBC,
∴AC平面ABCD, 即AC为四棱棱锥的高  …………………………… 10分
∵底面ABCD是一个正方形，  ……………………………………… 12分
∴该几何体的体积：
 …………………………………………… 14分[

解析