Question

【题目】已知函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在区间[0，1]上有零点，则ab的最大值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在区间[0，1]上有零点，

∴△=a2﹣4b≥0，

（i）若△=0，即b= 时，f（x）的零点为x=﹣ ，

∴0≤﹣ ≤1，即﹣2≤a≤0，

∴ab= ，

∴当a=0时，ab取得最大值0；

（ii）若△＞0，即b＜ ，

①若函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在区间[0，1]上有一个零点，则f（0）f（1）≤0，

∴b（1+a+b）≤0，

即b+b2+ab≤0，

∴ab≤﹣b2﹣b=﹣（b+ ）2+ ，

∴ab的最大值是 ；

②若函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在区间[0，1]上有两个零点，

∴ ，即

显然ab≤0，

综上，ab的最大值为 ．

【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．