Question

已知对于?x∈[0，1]，不等式2^ax²+4x（x-1）+4^-a（x-1）²＞0恒成立，则实数a的取值范围是

（-∞，-2）

．

Answer 1

分析：把不等式的左边化简整理，化为关于x的一元二次不等式，分析二次函数的对称轴，对称轴在（0，1）内，
所以只需二次不等式所对应的二次函数的最小值大于0即可，由此列式求得a的取值范围．

解答：解：由2^ax²+4x（x-1）+4^-a（x-1）²＞0，
得（2^a+4+4^-a）x²-（4+2•4^-a）x+4^-a＞0．
令f（x）=（2^a+4+4^-a）x²-（4+2•4^-a）x+4^-a．
对称轴方程为x=

2+4-a

2+4-a+2+2a

∈（0，1）．
∴对于?x∈[0，1]，不等式2^ax²+4x（x-1）+4^-a（x-1）²＞0恒成立，
等价于

4•4-a(2a+4+4-a)-(4+2•4-a)2

4•(2a+4+4-a)

＞0恒成立．
整理得，2^2-a＞2⁴，解得a＜-2．
∴实数a的取值范围是（-∞，-2）．
故答案为（-∞，-2）．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了二次函数在闭区间上的最值，考查了计算能力，是中档题．