分析 法一令f(x)=ax2-x+a,当a=0时,不等式为x<0不合题意;当a≠0时,解得$a≥\frac{1}{2}$,由此能求出a的取值范围.
法二:ax2-x+a>0⇒$a>\frac{x}{{{x^2}+1}}=\frac{1}{{x+\frac{1}{x}}}$,由此能求出a的取值范围.
解答 解:法一:∵不等式ax2-x+a>0,对任意x∈(1,+∞)恒成立,
∴令f(x)=ax2-x+a,
当a=0时,不等式为x<0不合题意;
当a≠0时,需$\left\{\begin{array}{l}a>0\\ f(1)≥0\\ \frac{1}{2a}≤1\end{array}\right.$,
解得$a≥\frac{1}{2}$;综上$a≥\frac{1}{2}$
解法二:不等式ax2-x+a>0,对任意x∈(1,+∞)恒成立,
∵ax2-x+a>0,∴ax2+a>x,
∴$a>\frac{x}{{{x^2}+1}}=\frac{1}{{x+\frac{1}{x}}}$≥$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=$\frac{1}{2}$,
∴$a≥\frac{1}{2}$.
故答案为:$[\frac{1}{2},+∞)$.
点评 本题考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意不等式性质的合理运用.
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A. | $\frac{5π}{3}$ | B. | $\frac{5π}{6}$ | C. | $\frac{π}{2}$ | D. | $\frac{π}{6}$ |
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A. | 在[$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}$]上是增函数 | B. | 其图象关于直线x=-$\frac{π}{4}$对称 | ||
C. | 函数g(x)是奇函数 | D. | 当x∈[0,$\frac{π}{3}$]时,函数g(x)的值域是[-1,2] |
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A. | m<1或m>6 | B. | m=1或m=6 | C. | 1<m<6 | D. | 1≤m≤6 |
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A. | p是假命题,¬p:?x∈(0,$\frac{π}{2}$),f(x)≥0 | B. | p是假命题,¬p:?x∈(0,$\frac{π}{2}$),f(x)≥0 | ||
C. | p是真命题,¬p:?x∈(0,$\frac{π}{2}$),f(x)≥0 | D. | p是真命题,¬p:?x∈(0,$\frac{π}{2}$),f(x)≥0 |
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