Question

锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，cosA=

5

5

，sinB=

3 10

10

．（Ⅰ）求cos（A+B）的值；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由cosA与sinB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinA与cosB的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将各自的值代入计算即可求出值；
（Ⅱ）由cos（A+B）的值求出cosC的值，进而求出sinC的值，由a，sinA的值，利用正弦定理求出c的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵锐角△ABC中，cosA=

5

5

，sinB=

3 10

10

，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 5

5

，cosB=

1-sin2B

=

10

10

，
则cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=

5

5

×

10

10

-

2 5

5

×

3 10

10

=-

2

2

；
（Ⅱ）∵cosC=-cos（A+B）=

2

2

，
∴sinC=

1-cos2C

=

2

2

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：c=

asinC

sinA

=

4× 2 2

2 5 5

=

10

，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×4×

10

×

3 10

10

=6．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．