Question

已知等比数列{a_n} 的首项a₁=2011，公比q=-

1

2

，数列{a_n} 前n项和记为s_n，前n项积记为∏(n)
（1）证明s₂≤s_n≤s₁
（2）判断|∏(n)|与|∏(n+1)|的大小，n为何值时，∏(n)取得最大值
（3）证明{a_n} 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为d₁，d₂，d₃，…d_n，…，，证明：数列{d_n}为等比数列．（参考数据2¹⁰=1024）

Answer 1

分析：（1）由等比数列{a_n} 的首项和公比，利用等比数列的前n项和公式表示出数列{a_n} 前n项和s_n，然后分n为奇数和偶数两种情况即可得到s_n的最大值和最小值，得证；
（2）由π（n）表示前n项之积，表示出

|π(n+1)|

|π(n)|

，根据n等于10时其值大于1，n等于11时其值小于1，得到|π（n）|最大值等于|π（11）|，但是π（11）小于0，而π（10）小于0，π（9）大于0，π（12）大于0，所以π（n）的最大值是π（9）与π（12）中的较大者，利用做商的方法即可判断出π（n）的最大值是π（12）；
（3）设出数列{a_n} 中的任意相邻三项为：a_n，a_n+1，a_n+2，然后根据|a_n|随n增大而减小，{a_n}奇数项均为正，偶数项均为负，分n为奇数和偶数对设出的三项进行调整，利用等差数列的性质确定其三项为等差数列，并求出相应的公差，得到数列{d_n}的通项，根据等比数列的性质可得数列{d_n}为等比数列，得证．

解答：解：（1）由等比数列{a_n} 的首项a₁=2011，公比q=-

1

2

，
得s_n=

a1[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=

2

3

a₁[1-(-

1

2

)n]，
①n是奇数时，(-

1

2

)n=-(

1

2

)n，n=1时，-(

1

2

)n最小，
②n是偶数时，(-

1

2

)n=(

1

2

)n，n=2时，(

1

2

)n最大，
综上：s₂≤s_n≤s₁；
（2）∵|π（n）|=|a₁a₂a₃…a_n|，∴

|π(n+1)|

|π(n)|

=|a_n+1|=2011×(

1

2

)n，
∵

2011

210

＞1＞

2011

211

，
当n≤10时，|π（n+1）|＞|π（n）|；当n≥11时，|π（n+1）|＜|π（n）|；
∴|π（n）|_max=|π（11）|，但π（11）＜0，∵π（10）＜0，π（9）＞0，π（12）＞0，
∴π（n）的最大值是π（9）与π（12）中的较大者，
∵

π(12)

π(9)

=a₁₀•a₁₁•a₁₂=[2011×(

1

2

)10]3＞1，
∴π（9）＜π（12），
∴当n=12时，π（12）最大；
（3）对a_n，a_n+1，a_n+2进行调整，|a_n|随n增大而减小，{a_n}奇数项均为正，偶数项均为负，
①当n是奇数时，调整为：a_n+1，a_n+2，a_n；
则a_n+1+a_n=a₁(-

1

2

)n+a₁(-

1

2

)n-1=a₁

1

2n

，2a_n+2=2a₁(-

1

2

)n+1=a₁

1

2n

，
∴a_n+1+a_n=2a_n+2，即a_n+1，a_n+2，a_n成等差数列；
②当n为偶数时，调整为：a_n，a_n+2，a_n+1，
则a_n+1+a_n=a₁(-

1

2

)n+a₁(-

1

2

)n-1=a₁

(-1)

2n

，2a_n+2=2a₁(-

1

2

)n+1=a₁

(-1)

2n

，
∴a_n+1+a_n=2a_n+2，即a_n，a_n+2，a_n+1成等差数列；
所以{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列．
①n是奇数时，公差d_n=a_n+2-a_n+1=a₁[(-

1

2

)n+1-(-

1

2

)n]=a₁

3

2n+1

；
②当n为偶数时，公差d_n=a_n+2-a_n=a₁[(-

1

2

)n+1-(-

1

2

)n-1]=a₁

3

2n+1

，
无论n是奇数还是偶数，都有d_n=a₁

3

2n+1

，则

dn+1

dn

=

1

2

，
∴数列{d_n}是以d₁=

3

4

a₁，公比为

1

2

的等比数列．

点评：此题考查学生掌握确定数列为等差、等比数列的方法，灵活运用等比数列的前n项和公式及等比数列的性质化简求值，会利用做商的方法判断两式子的大小，是一道中档题．此题的逻辑性比较强，锻炼了学生的推理论证的能力．