分析 (Ⅰ)由圆的周长可得半径r=30,连接AC,设∠BAC=α(0<α<$\frac{π}{2}$),即有AB=60cosα,AD=60sinα,运用矩形的面积公式和二倍角的正弦,以及正弦函数的值域即可得到所求最大值;
(Ⅱ)运用圆柱的体积公式可得圆柱形罐子体积为V=π•$\frac{900co{s}^{2}α}{{π}^{2}}$•AD=$\frac{54000}{π}$•sinαcos2α(0<α<$\frac{π}{2}$),由sin2αcos4α=$\frac{1}{2}$•2sin2α•cos2α•cos2α,运用三元基本不等式即可得到所求的最大值.
解答 解:(Ⅰ)周长为60πcm,即有2πr=60π,
解得r=30,即有AC=60,
连接AC,设∠BAC=α(0<α<$\frac{π}{2}$),
即有AB=60cosα,AD=60sinα,
则矩形ABCD的面积为S=AB•AD=3600sinαcosα=1800sin2α,
当sin2α=1,即α=$\frac{π}{4}$时,矩形的面积取得最大值,且为1800cm2;
故与直径成$\frac{π}{4}$的角,截取可得矩形的面积最大,且为1800cm2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得AB=60cosα,AD=60sinα,
设60cosα=2πr,可得r=$\frac{30cosα}{π}$,
即有圆柱形罐子体积为V=π•$\frac{900co{s}^{2}α}{{π}^{2}}$•AD=$\frac{54000}{π}$•sinαcos2α(0<α<$\frac{π}{2}$),
由sin2αcos4α=$\frac{1}{2}$•2sin2α•cos2α•cos2α≤$\frac{1}{2}$•($\frac{2si{n}^{2}α+co{s}^{2}α+co{s}^{2}α}{3}$)3
=$\frac{1}{2}$•$\frac{8}{27}$=$\frac{4}{27}$,当且仅当2sin2α=cos2α,即为tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,取得最大值.
故与直径成α角,且tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,截取得到的矩形,卷成圆柱,
体积取得最大值,且为$\frac{12000\sqrt{3}}{π}$cm3.
点评 本题考查函数模型的应用题的解法,考查三角函数的恒等变换的运用,以及正弦函数的值域和基本不等式的运用,考查运算能力,属于中档题.
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