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(2012•日照一模)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14,a3是a1,a7的等比中项.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)设Tn为数列{
1
anan+1
}
的前n项和,若Tn
1
λ
an+1
对一切n∈N*恒成立,求实数λ的最大值.
分析:(I)设出此等差数列的公差为d,根据等差数列的前n项和公式及等比数列的性质,列出方程组,可求出首项和公差,根据首项和公差写出等差数列{an}的通项公式即可;
(II)写出数列的通项,利用裂项法求数列的和,再分离参数,利用基本不等式求出最消值,即可得到实数λ的最大值.
解答:解:(I)设公差为d,∵S4=14,a3是a1,a7的等比中项
4a1+6d=14 
(a1+2d)2=a1(a1+6d)

解得:
d=1
a1=2
d=0
a1=
7
2
(舍去),
∴an=2+(n-1)=n+1;
(II)∵
1
anan+1
=
1
(n+1)(n+2) 
=
1
n+1
-
1
n+2 

∴Tn=
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n+1
-
1
n+2 
=
1
2
-
1
n+2
=
n
2(n+2)

Tn
1
λ
an+1
对一切n∈N*恒成立,
n
2(n+2)
n+2
λ

λ≤
2(n+2)2
n
?n∈N*恒成立,
2(n+2)2
n
=2(n+
4
n
+4)
≥16,
∴λ≤16
∴λ的最大值为16.
点评:本题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值,考查等比数列的性质,考查不等式恒成立问题,考查利用基本不等式求函数的最值,属于中档题.
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(2012•日照一模)在如图所示的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点.
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(2012•日照一模)给出下列四个命题:
①命题“?x∈R,cosx>0”的否定是“?x∈R,cosx≤0”;
②若0<a<1,则函数f(x)=x2+ax-3只有一个零点;
③函数y=sin(2x-
π
3
)
的一个单调增区间是[-
π
12
12
]

④对于任意实数x,有f(-x)=f(x),且当x>0时,f′(x)>0,则当x<0时,f′(x)<0.
其中真命题的序号是
①③④
①③④
(把所有真命题的序号都填上).

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(2012•日照一模)已知定义在R上奇函数f(x)满足①对任意x,都有f(x+3)=f(x)成立;②当x∈[0,
3
2
]
f(x)=
3
2
-|
3
2
-2x|
,则f(x)=
1
|x|
在[-4,4]上根的个数是(  )

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(2012•日照一模)已知f(x)=
m
n
,其中
.
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
.
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx)
(ω>0).若f(x)图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于π.
(I)求ω的取值范围;
(II)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,a=
7
,S△ABC=
3
2
,当ω取最大值时,f(A)=1,求b,c的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•日照一模)给出下列四个命题:
①命题“?x∈R,cosx>0”的否定是“?x∈R,cosx≤0”;
②若0<a<1,则函数f(x)=x2+ax-3只有一个零点;
③函数y=2
2
sinxcosx
[-
π
4
π
4
]
上是单调递减函数;
④若lga+lgb=lg(a+b),则a+b的最小值为4.
其中真命题的序号是
①④
①④
(把所有真命题的序号都填上).

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