Question

（2012•日照一模）已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，a₃是a₁，a₇的等比中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设T_n为数列{

1

anan+1

}的前n项和，若Tn≤

1

λ

an+1对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的最大值．

Answer 1

分析：（I）设出此等差数列的公差为d，根据等差数列的前n项和公式及等比数列的性质，列出方程组，可求出首项和公差，根据首项和公差写出等差数列{a_n}的通项公式即可；
（II）写出数列的通项，利用裂项法求数列的和，再分离参数，利用基本不等式求出最消值，即可得到实数λ的最大值．

解答：解：（I）设公差为d，∵S₄=14，a₃是a₁，a₇的等比中项
∴

4a1+6d=14  (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，
解得：

d=1 a1=2

或

d=0 a1= 7 2

（舍去），
∴a_n=2+（n-1）=n+1；
（II）∵

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴T_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

，
∵Tn≤

1

λ

an+1对一切n∈N^*恒成立，
∴

n

2(n+2)

≤

n+2

λ

∴λ≤

2(n+2)2

n

?n∈N^*恒成立，
又

2(n+2)2

n

=2(n+

4

n

+4)≥16，
∴λ≤16
∴λ的最大值为16．

点评：本题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，考查等比数列的性质，考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．