Question

14．已知f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$+xe^x，定义a₁（x）=f'（x），a₂（x）=[a₁（x）]′，…，a_n+1（x）=[a_n（x）]′，n∈N^*．经计算令a₁（x）=$\frac{1-x}{e^x}+（{x+1}）{e^x}，{a_2}（x）=\frac{x-2}{e^x}+（{x+2}）{e^x}，{a_3}（x）=\frac{3-x}{e^x}+（{x+3}）{e^x}$，…，令g（x）=a₂₀₁₇（x），则g（1）=2018e+$\frac{2016}{e}$．

Answer 1

分析 根据题意，归纳分析可得a₂₀₁₇（x）=（2017+x）•e^x+$\frac{2017-x}{{e}^{x}}$，又由g（x）=a₂₀₁₇（x），计算可得则g（1）的值，即可得答案．

解答 解：根据题意，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$+xe^x，经计算令a₁（x）=$\frac{1-x}{e^x}+（{x+1}）{e^x}，{a_2}（x）=\frac{x-2}{e^x}+（{x+2}）{e^x}，{a_3}（x）=\frac{3-x}{e^x}+（{x+3}）{e^x}$，…，
则a₂₀₁₇（x）=（2017+x）•e^x+$\frac{2017-x}{{e}^{x}}$，
令g（x）=a₂₀₁₇（x），则g（1）=2018e+$\frac{2016}{e}$；
故答案为：2018e+$\frac{2016}{e}$．

点评 本题考查归纳推理的运用，关键是分析得到g（x）的解析式．