Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的大小；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先依据线面垂直的性质证明BC⊥PA，同理证明CD⊥PA，再依据线面垂直的判定定理得出 PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）利用三垂线定理找出二面角的平面角，并加以证明，把此角放到直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系解出此角．
（Ⅲ）要使得点E到平面PAF的距离为，即要点D到平面PAF的距离为，过D作AF的垂线DG，由面面垂直的性质知，DG为点D到平面PAF的距离，可求DG的长度，由直角三角形相似可求BF=1．
解答：解：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为正方形，
∴BC⊥AB，又BC⊥PB，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PA．（2分）
同理CD⊥PA，（4分）
∴PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ）解：设M为AD中点，连接EM，
又E为PD中点，
可得EM∥PA，从而EM⊥底面ABCD．
过M作AC的垂线MN，垂足为N，连接EN．
由三垂线定理有EN⊥AC，
∴∠ENM为二面角E-AC-D的平面角．（7分）
在Rt△EMN中，可求得，
∴．（9分）
∴二面角E-AC-D的大小为．（10分）

（Ⅲ）解：由E为PD中点可知，
要使得点E到平面PAF的距离为，即要点D到平面PAF的距离为．
过D作AF的垂线DG，垂足为G，
∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAF⊥平面ABCD，
∴DG⊥平面PAF，即 DG为点D到平面PAF的距离．
∴，∴．（12分）
设BF=x，由△ABF与△DGA相似可得  ，
∴，即 x=1．
∴在线段BC上存在点F，且F为BC中点，使得点E到平面PAF的距离为．
点评：本题考查证明线面垂直的证明方法，求二面角的大小的方法，求点到面的距离及开放型问题的解决方法．