Question

（2008•上海模拟）若一条曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，则称这条曲线为“二重对称曲线”，给出下列四条曲线：(1)  x2+

y2

4

=1  (2)  x2=y+1(3)  y=

3

cos(2x+

π

6

)  (4)   y=kx+b  (k，b∈R)
其中是“二重对称曲线”的有

（1），（3）

．

Answer 1

分析：（1）由题意可得方程x2+

y2

4

=1表示椭圆，由椭圆的性质可得此曲线是二重对称曲线．
（2）由x²=y+1可得y=x²-1，所以函数y=x²-1是二次函数，由二次函数的性质可得曲线x²=y+1不是二重对称曲线．
（3）函数y=

3

cos(2x+

π

6

)的图象由余弦函数的图象平移变换而来，有余弦函数的性质可得曲线y=

3

cos(2x+

π

6

)是二重对称曲线．
（4）由一次函数的性质可得：只有当k=0时，曲线y=kx+b（k，b∈R）才有对称轴与对称中心，所以曲线y=kx+b（k，b∈R）不是二重对称曲线．

解答：解：（1）由题意可得方程x2+

y2

4

=1表示椭圆，由椭圆的性质可得椭圆即关于x轴，y轴对称也关于原点对称，所以曲线x2+

y2

4

=1是二重对称曲线，所以选（1）．
（2）由x²=y+1可得y=x²-1，所以函数y=x²-1是二次函数，由二次函数的性质可得其只有对称轴，所以曲线x²=y+1不是二重对称曲线，所以不选（2）．
（3）函数y=

3

cos(2x+

π

6

)的图象由余弦函数的图象平移变换而来，因为余弦函数的图象有对称轴与对称中心．所以可得曲线y=

3

cos(2x+

π

6

)是二重对称曲线，所以选（3）．
（4）由一次函数的性质可得：只有当k=0时，曲线y=kx+b（k，b∈R）才有对称轴与对称中心，所以曲线y=kx+b（k，b∈R）不是二重对称曲线，所以不选（4）．
故答案为：（1）（3）．

点评：本题只有考查曲线的对称性，解决此题的关键是熟练掌握常用函数的性质以及题中的新定义，此题属于基础题．