Question

已知圆C：（x-1）²+（y-3）²=4，过原点O的直线l与圆C相交于A、B两点
（1）若弦AB的长为2

2

，求直线l的方程；
（2）求证：

OA

•

OB

为定值．

Answer 1

分析：（1）设出直线AB的方程，利用弦AB的长为2

2

，通过半弦长，半径，弦心距，求出直线中变量的值，可得直线l的方程；
（2）通过直线的斜率不存在与存在两种情况分别证明：

OA

•

OB

为定值．斜率存在时，联立直线与圆的方程，通过向量的数量积的坐标运算，求出数量积为定值即可．

解答：解：（1）设直线方程y=kx，所以(

|k-3|

1+k2

)2+(

2

)2=4，…（3分）
解得k=1或k=-7
所以直线方程为y=x或y=-7x…（5分）
（2）当k不存在时，直线为x=0，此时

OA

•

OB

=6…（6分）
当k存在时，设直线y=kx，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

y=kx (x-1)2+(y-3)2=4

消y得（1+k²）x²-（6k+2）x+6=0，…（7分）

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2=(1+k2)x1x2，
由x1x2=

6

1+k2

所以

OA

•

OB

=6
综上：

OA

•

OB

=6…（11分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，弦长与半径，弦心距的关系，解答直线方程时注意直线的斜率是否存在是解题的关键．