Question

P是双曲线

x2

4

-

y2

12

=1右支上一点，F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，若

OM

=

1

2

（

OP

+

OF

），且|

OM

|=4，则点P到双曲线右准线的距离是

 

．

Answer 1

分析：根据a²-b²=c²求出左焦点F的坐标，根据双曲线的准线公式x=

a2

c

求出右准线方程，然后设P的坐标（x，y），代入到双曲线方程，由

OM

=

1

2

（

OP

+

OF

）得到M为PF的中点，根据中点坐标公式求出M的坐标，利用两点间的距离公式求出 |

OM

|，最后联立方程得到x，根据两点间的距离公式求出P到准线方程的距离即可．

解答：解：由双曲线

x2

4

-

y2

12

=1得a=2，b=2

3

，
根据勾股定理得c=4，则右准线为 x=1，右焦点F（4，0），
设P（x，y），P在双曲线上，
∴

x2

4

-

y2

12

=1①
由点M满足

OM

=

1

2

（

OP

+

OF

），则得M为PF中点，
根据中点坐标公式求得M（

x+4

2

，

y

2

），
且|

OM

|=4
∴

(4+x)2

4

+

y2

4

=16②
由①②解得：x=3．
右准线为 x=1，则点P到双曲线右准线的距离是 3-1=2．
故答案为2．

点评：本题是一道综合题，考查学生掌握双曲线的一些简单性质，会利用两点间的距离公式及中点坐标公式、点到直线的距离公式化简求值，同时也考查学生掌握向量的运用法则及向量模的求法，做题时要求学生知识面要宽，综合运用数学知识解决问题．