Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x-1，且f（0）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[-1，1]时，f（x）≥2mx恒成立，求实数m的取值集合．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=3，f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=2x-1，可求a，b，c，进而可求函数f（x）；
（2）由m∈[-1，1]时，不等式f（x）≥2mx恒成立，可得x²-2x+3-2mx≥0在m∈[-1，1]上恒成立，令g（m）=-2mx+（x²-2x+3），结合一次函数的性质可得

g(-1)=2m+6≥0 g(1)=-2m+2≥0

，从而可求m的范围．

解答： 解：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），…..1 分
∵f（0）=3，
∴c=3，…．（2分）
又f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=2x-1，
∴a=1，b=-2，…．（2分）
故f（x）=x²-2x+3…．（1分）
（2）因为m∈[-1，1]时，不等式f（x）≥2mx恒成立，
即x²-2x+3-2mx≥0在x∈[-1，1]上恒成立．
令g（m）=-2mx+（x²-2x+3），
则由

g(-1)=2m+6≥0 g(1)=-2m+2≥0

得：m∈[-3，1]，
故实数m的取值范围为：[-3，1]

点评：本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的恒成立求解参数问题一般转化为求解函数的最值，及利用转化与化归思想把所求二次函数转化为关于m的一次函数进行求解