Question

12．在区间[0，5]上任取一个实数a，则使得不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a对所有x∈（1，+∞）恒成立的概率为$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 本题是几何概型的考查，只要求出满足不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a对所有x∈（1，+∞）恒成立的a的范围，利用区间长度比求概率．

解答 解：由题意，总事件对应的区间长度为5，而在此条件下，满足不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a对所有x∈（1，+∞）恒成立，即x-1+$\frac{1}{x-1}$≥a-1，对所有x∈（1，+∞）恒成立，只要（x-1+$\frac{1}{x-1}$）_最小值≥a-1对所有x∈（1，+∞）恒成立，因为不等式x-1+$\frac{1}{x-1}$≥2，所以只要a-1≤2，即a≤3，
所以在[0，5]的前提下，使不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a对所有x∈（1，+∞）恒成立的a的范围是[3，5]，区间长度为2，
所以使得不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a对所有x∈（1，+∞）恒成立的概率为：$\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确概率模型，求出使得不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a对所有x∈（1，+∞）恒成立的a的范围，利用了基本不等式，属于中档题．