Question

设函数f(x)=2sin2(

π

4

+x)-acos2x-1(x∈R，a为常数)，已知x=

5π

12

时f（x）取到最大值2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=

π

6

对称，求满足x∈（0，π）且f（x）-2g（x）=3的所有x的值．

Answer 1

分析：（1）先根据三角函数的二倍角公式和辅角公式将函数f（x）化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，根据最大值为2可求出A的值，进而求出a的值．
（2）先根据对称性写出函数g（x）的解析式，然后代入到f（x）-2g（x）=3中，再由正弦函数的性质可确定x的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x-1=1-cos(

π

2

+2x)-acos2x-1
=sin2x-acos2x=

1+a2

sin(2x-?)，其中，cos?=

1

1+a2

，sin?=

a

1+a2

f(x)最大值为f(

5π

12

)=2，所以

1+a2

=2，∴a=±

3

，?=2kπ+

π

3

∴sin?=

a

1+a2

＞0，∴a=

3

（Ⅱ）∵g(x)=f(

π

3

-x)=2sin[2(

π

3

-x)-

π

3

]=-2sin(2x-

π

3

)
∴f(x)-2g(x)=6sin(2x-

π

3

)，∴sin(2x-

π

3

)=

1

2

∴2x-

π

3

=

π

6

+2kπ或

5π

6

+2kπ，即x=

π

4

+kπ或

7π

12

+kπ，k∈Z
∵x∈(0，π)，∴x=

π

4

或

7π

12

．

点评：本题主要考查二倍角公式、辅角公式和三角函数的对称性问题．三角函数部分公式比较多，一定要强化记忆，做题时才能做到游刃有余．