Question

已知函数f（x）=2

3

sinωxcosωx+2cos²ωx，（其中0＜ω＜1），若点（-

π

6

，1）是函数f（x）图象的一个对称中心．
（Ⅰ）试求ω的值；
（Ⅱ）当x∈[-π，π]时，先列表再作出函数f（x）在区间上的图象，并求出值域．

Answer 1

分析：将函数f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（Ⅰ）由点（-

π

6

，1）是函数f（x）图象的一个对称中心，根据正弦函数的对称性，代入得到-

ωπ

3

+

π

6

=kπ，k∈Z，根据ω的范围，即可求出ω的值；
（Ⅱ）由第一问确定的ω的值，得到函数f（x）的解析式，列表，描点，连线，作出函数图象，由函数图象即可得到f（x）在x∈[-π，π]时的值域．

解答：解：由题设得：f（x）=

3

sin2ωx+cos2ωx+1=2sin（2ωx+

π

6

）+1，
（Ⅰ）∵点（-

π

6

，1）是函数f（x）图象的一个对称中心，
∴-

ωπ

3

+

π

6

=kπ，k∈Z，
∴ω=-3k+

1

2

，
∵0＜ω＜1，
∴k=0，ω=

1

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（x+

π

6

）+1，x∈[-π，π]，
列表如下：

x+ π 6	- 5π 6	- π 2	0	π 2	π	7π 6
x	-π	- 2π 3	- π 6	π 3	5π 6	π
y	0	-1	1	3	1	0

f（x）在x∈[-π，π]上的图象如图示：

由图可知，函数在x∈[-π，π]上的值域是[-1，3]．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的对称性，以及五点法作三角函数图象，熟练掌握公式是解本题的关键．