Question

如图，两个边长为1的正方形ABCD与ABEF相交于AB，∠EBC=90°，M，N分别是BD，AE上的点，且AN=DM．
（1）求证：MN∥平面EBC；
（2）求MN长度的最小值．

Answer 1

分析：（1）首先分别以BA，BC，BE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后确定点M、N的坐标，进而确定

MN

的坐标，再找到平面EBC的一个法向量

BA

，并确定它的坐标，最后计算

MN

•

BA

为0即可．
（2）由

MN

的坐标表示出其长度，再利用配方法即可求出它的最小值．

解答：（1）证明：依题意可分别以BA，BC，BE为x轴，y轴，z轴建立；
如图所示空间直角坐标系，
因为正方形ABCD与ABEF的边长为1，且AN=DM，
所以设BM=x，则NE=x，NA=

2

-x，且x∈[0，

2

]，
所以M（

2

2

x，

2

2

x，0），N（

2

2

x，0，1-

2

2

x），
所以

MN

=（0，-

2

2

x，1-

2

2

x），
因为平面EBC的一个法向量为

BA

=（1，0，0）
所以

MN

•

BA

=0，即

MN

⊥

BA

，
又MN?平面EBC，所以MN∥平面EBC．
（2）解：由（1）

MN

=（0，-

2

2

x，1-

2

2

x），得
|

MN

|=

x2- 2 x+1

=

(x- 2 2 )2+ 1 2

，
又x∈[0，

2

]，所以当x=

2

2

时，|

MN

|_min=

2

2

．
即MN长度的最小值为

2

2

．

点评：本题主要考查向量法解决立体几何问题．