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    抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2，以F1、F2为焦点、离心率e=
    12
    的椭圆C2与抛物线C1的一个交点为P．
    （1）当m=1时求椭圆的方程；
    （2）在（1）的条件下，直线L经过椭圆C2的右焦点F2与抛物线L1交于A1，A2两点．如果弦长|A1A2|等于△PF1F2的周长，求直线L的斜率；
    （3）是否存在实数m，使△PF1F2的边长是连续的自然数．
    分析：（1）m=1时，求出焦点坐标以及a，b 的值，写出椭圆方程．
    （2）由于△PF1F2周长为 2a+2c=6，故弦长|A1A2|=6，用点斜式设出直线L的方程，代入抛物线方程化简，
    得到根与系数的关系，代入弦长公式求出斜率 k的值．
    （3）假设存在实数m，经分析在△PF1F2中|PF1|最长，|PF2|最短，令|F1F2|=2c=2m，则|PF1|=2m+1，
    |PF2|=2m-1，把P(m-1，
    		4m(m-1)
    )    代入椭圆方程求出m值．
    解答：解：（1）m=1时，抛物线C1：y2=4x，焦点为F2 （1，0）． 由于椭圆离心率e=
    1
    2
    ，c=1，
    故 a=2，b=
    		3
    ，故所求的椭圆方程为  
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ．
    （2）由于△PF1F2周长为 2a+2c=6，故弦长|A1A2|=6，设直线L的斜率为k，则直线L的方程为 y-0=k（x-2），
    代入抛物线C1：y2=4x 化简得 k2x2-（4k2+4）x+4k2=0，∴x1+x2= 4+
    4
    k2
    ，x1x2=4，
    ∴|A1A2|=
    		1+k2
    •
    		(x1+x2)2- 4x1x2
    =
    		1+k2
     
    		( 4+
    4
    k2
    )    2    -4×4
    =6，解得  K=±
    		2
    ．
    （3）假设存在实数m，△PF1F2的边长是连续自然数，经分析在△PF1F2中|PF1|最长，|PF2|最短，令|F1F2|=2c=2m，
    则|PF1|=2m+1，|PF2|=2m-1． 由抛物线的定义可得|PF2|=2m-1=xP-（-m），∴xP=m-1．
    把P(m-1，
    		4m(m-1)
    )    代入椭圆
    x2
    4m2
    +
    y2
    3m2
    =1    ，解得m=3．故存在实数m=3 满足条件．
    点评：本题考查抛物线和椭圆的标准方程和简单性质，弦长公式的应用，设出，△PF1F2的边长是解题的难点．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C1：y2=4ax（a＞0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为
    		2
    ，过抛物线C1的焦点F作倾斜角为
    π
    4
    的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C1于一点Q（点Q在x轴下方）．
    （1）求点P和Q的坐标；
    （2）将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C：y2=4（x-1），椭圆C1的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F和准线l分别重合．
    （1）设B是椭圆C1短轴的一个端点，线段BF的中点为P，求点P的轨迹C2的方程；
    （2）如果直线x+y=m与曲线C2相交于不同两点M、N，求m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C1：y2=4x的焦点与椭圆C2：
    x2
    9
    +
    y2
    b
    =1    的右焦点F2重合，F1是椭圆的左焦点．
    （1）在△ABC中，若A（-4，0），B（0，-3），点C在抛物线y2=4x上运动，求△ABC重心G的轨迹方程；
    （2）若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求cosα•cosβ的值及△PF1F2的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （文科做（1）（2）（4），理科全做）
    已知过抛物线C1：y2=2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点 
    （1）证明：y1y2=-p2且（y1+y2）2=2p（x1+x2-p）；
    （2）点Q为线段AB的中点，求点Q的轨迹方程；
    （3）若x1=1，x2=4，以坐标轴为对称轴的椭圆或双曲线C2过A、B两点，求曲线C1和C2的方程；
    （4）在（3）的条件下，若曲线C2的两焦点分别为F1、F2，线段AB上有两点C（x3，y3），D（x4，y4）（x3＜x4），满足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在线段F1 F2上是否存在一点P，使PD=
    		11
    ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2003•东城区二模）已知抛物线C1：y2=4ax（a＞0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为
    		2
    ，过抛物线C1的焦点F作倾斜角为
    π
    4
    的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C1于一点Q（点Q在x轴下方）．
    （Ⅰ）求点P和Q的坐标；
    （Ⅱ）将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程；
    （Ⅲ）设点A（t，0）（常数t＞4），当a在闭区间〔1，2〕内变化时，求△APQ面积的最大值，并求相应a的值．

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