【题目】如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AA1=1,E为BC中点.
(1)求证:C1D⊥D1E;
(2)若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°,求AD的长.
【答案】
(1)证明:以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz,
设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,1,0),C(0,1,0),
B1(a,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E( ,1,0),
∴ =(0,﹣1,﹣1), =( ,1,﹣1),
则 =0,
∴C1D⊥D1E.
(2)解:设平面AD1E的法向量为 =(x,y,z),
=(﹣ ,1,0), =(﹣a,0,1),
则 ,取x=2,得平面AD1E的一个法向量为 =(2,a,2a),
设平面B1AE的法向量为 =(x′,y′,z′),
=(﹣ ,1,0), =(0,1,1),
则 ,取x′=2,得 =(2,a,﹣a).
∵二面角B1AED1的大小为90°,
∴ ⊥ ,∴ =4+a2﹣2a2=0,
∵a>0,∴a=2,即AD=2
【解析】(1)以D为原点,建立空间直角坐标系D﹣xyz,利用向量法能证明C1D⊥D1E.(2)求出平面AD1E的法向量和平面B1AE的法向量,由二面角B1AED1的大小为90°,能求出AD的长.
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点,需要掌握相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点才能正确解答此题.
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【题目】如图, 是 直径, 所在的平面, 是圆周上不同于 的动点.
(1)证明:平面 平面 ;
(2)若 ,且当二面角 的正切值为 时,求直线 与平面 所成的角的正弦值.
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【题目】若函数f(x)= x3﹣(1+ )x2+2bx在区间[3,5]上不是单调函数,则函数f(x)在R上的极大值为( )
A. b2﹣ b3
B. b﹣
C.0
D.2b﹣
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【题目】如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是 ( )
A. BD∥平面CB1D1 B. AC1⊥BD
C. AC1⊥平面CB1D1 D. 异面直线AD与CB1所成的角为60°
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【题目】已知函数f(x)=ax2﹣(2a+1)x+lnx(a∈R) (Ⅰ)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设g(x)=f(x)+2ax,若g(x)有两个极值点x1 , x2 , 且不等式g(x1)+g(x2)<λ(x1+x2)恒成立,求实数λ的取值范围.
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【题目】如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长AD=5m,宽AB=3m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问如何在BC上找到一点M,使得两条小路AC与DM相互垂直?
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