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【题目】如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AA1=1,E为BC中点.
(1)求证:C1D⊥D1E;
(2)若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°,求AD的长.

【答案】
(1)证明:以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz,

设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,1,0),C(0,1,0),

B1(a,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E( ,1,0),

=(0,﹣1,﹣1), =( ,1,﹣1),

=0,

∴C1D⊥D1E.


(2)解:设平面AD1E的法向量为 =(x,y,z),

=(﹣ ,1,0), =(﹣a,0,1),

,取x=2,得平面AD1E的一个法向量为 =(2,a,2a),

设平面B1AE的法向量为 =(x′,y′,z′),

=(﹣ ,1,0), =(0,1,1),

,取x′=2,得 =(2,a,﹣a).

∵二面角B1AED1的大小为90°,

,∴ =4+a2﹣2a2=0,

∵a>0,∴a=2,即AD=2


【解析】(1)以D为原点,建立空间直角坐标系D﹣xyz,利用向量法能证明C1D⊥D1E.(2)求出平面AD1E的法向量和平面B1AE的法向量,由二面角B1AED1的大小为90°,能求出AD的长.
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点,需要掌握相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点才能正确解答此题.

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