Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，F₁，F₂分别是椭圆C的左、右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的长轴和短轴的长，离心率e，左焦点F₁；
（Ⅱ）已知P是椭圆上一点，且PF₁⊥PF₂，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的方程及性质直接求解．
（Ⅱ）由椭圆的定义知$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2a=2\sqrt{2}$①，勾股定理，得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²②，①²-②，得|PF₁|•|PF₂|即可．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$知a²=2，b²=1，则$a=\sqrt{2}，b=1$，故c=1---（2分）
所以椭圆C的长轴$2a=2\sqrt{2}$，短轴2b=2，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，左焦点F₁（-1，0）．（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得$a=\sqrt{2}$，b=1，c=1．
由椭圆的定义知$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2a=2\sqrt{2}$①，-----------------------------（8分）
在Rt△PF₁F₂中，由勾股定理，得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²②，①²-②，
得2|PF₁|•|PF₂|=8-4=4，--------------------------------------（10分）
∴|PF₁|•|PF₂|=2，∴S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×2=1．----------（12分）

点评 本题考查了椭圆的方程及焦点三角形的面积，属于基础题．